가챠 확률 계산 방법｜몇 연차에 나올까? 천장·픽뚫·풀돌 기댓값

결론: n번에 나올 확률은 “1 − (1 − 배출률)의 n제곱”

가챠에서 “n번 뽑아 원하는 캐릭터가 1개 이상 나올 확률”은 “하나도 안 나올 확률”을 1에서 빼서 구합니다. 1번에 안 나올 확률은 (1 − 배출률)이므로, n번 연속 안 나올 확률은 그것을 n번 곱한 (1 − 배출률)^n입니다. 즉 나올 확률 = 1 − (1 − 배출률)^n입니다. 배출률 1%라면 1번에 안 나올 확률은 0.99, 100번 연속 안 나올 확률은 0.99의 100제곱으로 약 36.6%, 나올 확률은 약 63.4%입니다.

중요한 것은 “배출률 1% = 100번에 1번 나온다”는 평균(기댓값) 이야기이지, “100번 뽑으면 반드시 나온다”는 뜻이 아니라는 점입니다. 평균이 100회여도 운이 좋으면 1회째에 나오고, 300번 뽑아도 안 나오는 사람이 약 5% 있습니다. 이 편차를 어떻게 어림하느냐가 가챠 예산을 정할 때 가장 중요한 포인트입니다. 아래에서 숫자를 구하는 방법과 읽는 방법을 차례로 설명합니다.

계산식의 의미와 “1%를 100연차에 63%”인 이유

가챠의 1회 1회는 이전 결과와 상관없이 같은 확률로 추첨된다(독립이다)고 보는 것이 기본입니다. 이 전제에서 n회 중 몇 번 당첨되는지는 이항분포가 되고, “1개 이상 나올 확률”은 앞의 식으로 간단히 구할 수 있습니다.

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   배출률을 소수로 바꾼다

   1%는 0.01, 0.6%는 0.006, 3%는 0.03입니다. %인 채로 계산하면 자릿수를 틀리기 쉬우니 먼저 바꿔 둡니다.

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   1번에 안 나올 확률을 구한다

   1 − 배출률입니다. 1%라면 0.99, 0.6%라면 0.994가 됩니다.

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   횟수만큼 곱해 n번 모두 안 나올 확률을 구한다

   0.99를 100번 곱하면 약 0.366. 공학용 계산기는 x^y 키를, 스프레드시트에서는 =0.99^100으로 구할 수 있습니다.

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   1에서 뺀다

   1 − 0.366 = 0.634. 1%를 100번 뽑아 1개 이상 나올 확률은 약 63.4%입니다.

“1%를 100번이면 100%가 되는 것 아닌가” 싶은 건 확률을 더해 버리기 때문입니다. 1%를 100번 더하면 100%가 되지만, 이는 “1회째에 나온 사람이 2회째에도 나오는” 겹침까지 세고 있는 것입니다. 실제로는 이미 나온 사람이 또 나와도 “1개 이상 나온” 사람의 수는 늘지 않습니다. 그래서 횟수를 늘릴수록 확률은 100%에 가까워지지만 딱 100%에는 닿지 않습니다.

또 하나, “평균(기댓값)”과 “절반의 사람이 나오는 횟수(중앙값)”도 다릅니다. 1% 가챠에서 나올 때까지 걸리는 횟수의 평균은 100회지만, 절반의 사람은 69회까지 나옵니다. 200회·300회 걸리는 소수 때문에 평균이 끌어올려지기 때문입니다. “평균 100회니까 100회분을 준비하면 절반 넘는 확률로 충분하다”는 맞지만, “100회분이면 안심”은 아니라는 뜻입니다.

배출률×횟수 조견표와 50%·90%·99%로 나오는 횟수

천장이나 확정이 없는 단순한 가챠에서, 원하는 캐릭터가 1개 이상 나올 확률을 흔한 배출률과 횟수로 계산한 것이 다음 표입니다.

반대로 “몇 번 뽑으면 어느 정도의 사람이 나오는지”를 구한 것이 다음 표입니다. 예산을 생각할 때는 이쪽이 더 쓰기 편할 것입니다.

어느 배출률이든 90%로 나오는 횟수는 평균의 약 2.3배, 99%로 나오는 횟수는 평균의 약 4.6배입니다. “10명 중 9명까지 보려면 평균의 2.3배, 거의 모두까지 보려면 4.6배”라고 기억해 두면 표가 없어도 짐작할 수 있습니다.

2개 이상(돌파) 나올 확률과 뽑을 수 있는 개수의 분포

같은 캐릭터나 카드를 겹쳐 강화하는 “돌파”가 목적이라면 “1개 이상”이 아니라 “k개 이상” 나올 확률이 필요합니다. 이것도 이항분포로, “딱 0개” “딱 1개” … “딱 k−1개”의 확률을 더해 1에서 뺍니다. 딱 i개 나올 확률은 C(n, i) × p^i × (1 − p)^(n − i)입니다(C(n, i)는 n회 중 어느 i회에 나오는지의 조합의 수).

300연차일 때 나오는 개수의 평균은 3개지만, 3개 이상 나올 확률은 57.8%로 60%에 못 미칩니다. 같은 배출률 1%에서 절반의 사람이 2개를 모으는 것은 168회, 3개라면 268회, 7개(풀돌)라면 667회입니다. 돌파를 거듭할수록 필요한 횟수는 “1개분의 횟수 × 개수”에 가까워지고, 편차의 폭도 커집니다.

천장이 있을 때의 확률과 기댓값

천장이란 “90연차째에 최고 레어 확정”처럼 일정 횟수를 뽑으면 반드시 나오는 장치입니다. 최고 레어가 나오면 카운트가 0으로 돌아가는 유형이 많아, 여기서는 그 유형으로 계산합니다. 천장이 있으면 나올 때까지의 횟수에 상한이 생기므로 평균도 크게 내려갑니다.

주목할 점은 89연차째까지 나올 확률이 천장이 있든 없든 같다는 것입니다. 천장은 “그 전까지의 확률을 올리는” 장치가 아니라 “90연차째까지 안 나온 약 58.5%의 사람을 거기서 구해 주는” 장치입니다. 즉 최고 레어 0.6%·90연차 천장 가챠에서는 절반 넘는 사람이 천장까지 뽑게 됩니다. 평균이 69.7회인 것은 일찍 나온 약 40%의 사람과 딱 90회에 나온 약 60%의 사람의 평균이기 때문입니다.

픽뚫 50%와 확정 천장(다음은 확정)의 계산

픽업(기간 한정) 가챠에서는 최고 레어가 나와도 원하는 캐릭터라고는 할 수 없습니다. 원하는 캐릭터 외의 최고 레어가 나오는 것을 “픽뚫(픽업 뚫림)”이라고 부릅니다. 흔한 것은 “최고 레어가 나왔을 때 픽업일 확률은 50%. 픽뚫이 나면 다음 최고 레어는 픽업 확정”이라는 방식입니다. 이 확정 상태를 확정 천장이라고 부르기도 합니다.

1개째의 평균이 약 104.5회가 되는 것은 최고 레어가 나올 때까지의 평균(약 69.7회)에 “픽뚫이 나면 한 번 더”분의 1.5배를 곱한 값이기 때문입니다. 최악의 경우는 “90연차째까지 안 나오고 천장에서 픽뚫, 다음에도 90연차째까지 안 나오고 확정으로 픽업”인 180회입니다. 시작하기 전에 이 “최악의 횟수”를 알아 두면 재화나 과금 예산의 상한이 정해집니다.

최고 레어 0.7%·80연차 천장·픽뚫 50%(다음은 확정)인 경우 픽업 1개의 평균은 약 92.1회·최악 160회, 2개의 평균은 약 184.2회·최악 320회입니다. 천장이 10회 짧을 뿐인데 최악의 횟수는 1개당 20회 줄어듭니다.

천장 카운트 이월과 확정 천장의 이월

천장 카운트나 확정 천장이 다음 픽업으로 이월되는 게임에서는 “지금 몇 연차째인지” “지금 확정 상태인지”에 따라 앞으로 몇 번이 필요한지가 크게 달라집니다. 최고 레어 0.6%·90연차 천장·픽뚫 50%(다음은 확정)에서 픽업 1개를 얻을 때까지 앞으로 몇 번인지 계산하면 다음과 같습니다.

60연차까지 뽑아 둔 확정 상태라면 최악이라도 앞으로 30회 안에 픽업이 손에 들어옵니다. 반대로 0연차·확정 아님 상태에서 시작하면 최악 180회가 걸립니다. “지금 돌릴지, 다음 픽업까지 재화를 모을지”를 생각할 때는 카운트와 확정 여부를 넣고 최악의 횟수를 비교하면 판단하기 쉬워집니다.

풀돌(7개)까지 필요한 횟수

픽업을 7개 모을(풀돌) 때까지 뽑으면 필요한 횟수가 단숨에 커집니다. 흔한 방식의 조합별로 7개가 모일 때까지의 횟수를 계산했습니다.

1회 300엔으로 계산하면, 최고 레어 0.6%·90연차 천장·픽뚫 50%에서 풀돌하려면 평균 약 22만 엔, 10명 중 9명이 모이는 902회에서 약 27만 엔, 최악의 1,260회에서 약 38만 엔이 됩니다. 1개만이라면 평균 약 3만 1,000엔, 최악 5만 4,000엔입니다. 풀돌은 1개의 약 7배가 든다고 생각해 두면 대략 짐작이 됩니다.

풀돌처럼 여러 개를 모으는 경우, 1회마다의 운의 좋고 나쁨이 서로 상쇄되므로 평균과 중앙값(50%)이 거의 같아지고, 편차도 1개일 때보다 (개수에 비해) 작아집니다. 그래서 풀돌을 노린다면 천장과 픽뚫이 있는 방식에서는 “평균 횟수의 1.25배”, 교환만 있거나 천장이 없는 방식에서는 “1.4〜1.5배” 정도를 예산 기준으로 삼으면 10명 중 9명의 선에 대체로 들어갑니다.

교환(포인트 천장)이 있을 때의 계산

“300회 뽑으면 포인트로 픽업 캐릭터와 교환할 수 있다”처럼, 뽑은 횟수로 쌓이는 포인트를 원하는 캐릭터와 교환할 수 있는 방식도 있습니다. 교환으로 얻은 것도 1개로 세므로, 운이 나빠도 일정 횟수마다 반드시 1개가 손에 들어옵니다.

300회에 교환할 수 있다면 1개째의 최악은 300회입니다. 게다가 도중에 픽업이 나와도 교환 포인트가 줄지 않는 방식이라면, 300회 시점에 “뽑아서 나온 것 + 교환한 1개”를 손에 넣을 수 있습니다. 2개째의 90% 선이 328회로 300회를 살짝 넘을 뿐인 것은 이 때문입니다. 교환 포인트가 다음 가챠로 이월되지 않는다면 도중에 그만두면 교환분이 헛되게 되므로, 교환까지 다 뽑을지도 계산에 넣어 두세요.

랜덤 캔뱃지·트레카 전종 컴플리트에 몇 개 필요한가

내용물이 보이지 않는 랜덤 캔뱃지, 아크릴 스탠드, 트레이딩 카드, 캡슐 토이 등에서 “전 N종을 모두 모으려면 몇 개를 사야 하나”라는 문제는 수학에서 쿠폰 수집가 문제라고 부릅니다. 모든 종류가 같은 확률로 나온다면 전 m종을 모을 때까지의 평균은 m × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/m)개입니다.

이 식은 “아직 갖고 있지 않은 종류가 나올 때까지 몇 개 걸리는가”를 차례로 더한 것입니다. 1종째는 1개째에 반드시 손에 들어오지만, 10종 중 9종을 모은 뒤의 마지막 1종은 10개에 1개 확률로만 나오므로 평균 10개가 걸립니다. 마지막 몇 종에서 크게 막히는 것이 컴플리트가 힘든 이유입니다.

전 10종 랜덤 캔뱃지를 30개 샀을 때를 예로 들면, 모이는 종류의 평균은 약 9.6종, 중복은 약 20.4개, 전종이 모여 있을 확률은 약 62.9%입니다. 20개라면 평균 약 8.8종·중복 약 11.2개로, 전종이 모일 확률은 약 21.5%밖에 안 됩니다. 친구끼리 교환할 생각이라면 중복 개수를 먼저 어림해 두면 교환에 내놓을 수 있는 수를 짐작할 수 있습니다.

시크릿이 있으면 컴플리트가 얼마나 힘들어지나

랜덤 굿즈에는 다른 것보다 잘 안 나오는 “시크릿”이 들어 있는 경우가 있습니다. 시크릿의 확률은 공개되지 않는 경우도 많지만, 가령 “일반 10종＋시크릿 1종(나올 확률 2%)”으로 계산하면 다음과 같습니다.

시크릿까지 모으려면 평균으로 거의 2배, 10명 중 9명 선에서는 2.5배의 개수가 필요합니다. 시크릿이 1개 이상 나올 확률은 10개에 약 18.3%, 30개에 약 45.5%, 50개라도 약 63.6%입니다. 시크릿을 노린다면 박스 구매로 1박스당 구성이 정해진 상품이나, 단품 교환·구매도 선택지에 넣는 편이 현실적입니다.

가챠 확률에서 흔한 오해

• “100번 뽑으면 1%는 반드시 나온다”: 천장이 없으면 약 63%입니다. 약 37%의 사람은 100번에 하나도 안 나옵니다.
• “계속 안 나왔으니 슬슬 잘 나올 것이다”: 천장 카운트 외에는 이전 결과가 다음 1회의 확률에 영향을 주지 않습니다. 50번 꽝 이후의 1회도 첫 1회와 같은 1%입니다.
• “방금 나왔으니 한동안 안 나온다”: 이것도 마찬가지로, 나온 직후의 1회도 확률은 바뀌지 않습니다(천장 카운트가 0으로 돌아갈 뿐입니다).
• “평균 100회니까 100회분을 준비하면 안심”: 평균으로 충분한 건 절반 조금 넘는 사람뿐입니다. 10명 중 9명의 선은 평균의 약 2.3배입니다.
• “10연차가 단차보다 잘 나온다”: 최고 레어의 확률은 같습니다. 10연차에 별도의 확정 슬롯이 붙어 있을 때만 그 슬롯만큼 내용이 달라집니다.
• “주변이 다 나왔으니 나도 나올 것이다”: SNS에서는 나온 사람의 보고가 눈에 띄기 쉽고, 안 나온 사람의 보고는 적어지기 쉽습니다. 1%의 100연차라도 1,000명 중 약 366명은 하나도 안 나왔습니다.

확률은 “같은 조건으로 많은 사람이 뽑았을 때 어느 정도의 사람이 어떻게 되는가”를 나타낸 것입니다. 나 한 사람의 결과는 그중 어딘가에 들어갈 뿐이고, 미리 알 수는 없습니다. 그렇기 때문에 평균뿐 아니라 “10명 중 9명이면 몇 회” “최악이면 몇 회”까지 구해 두고, 어디까지라면 낼 수 있는지를 먼저 정해 두는 것이 중요합니다.

예산을 정할 때의 사고방식

확률을 계산해도 나올지 어떨지는 끝까지 알 수 없습니다. 후회하기 어려운 것은 돌리기 전에 “어디까지 낼지”를 숫자로 정하고, 그 숫자에 맞춰 횟수를 정하는 방법입니다.

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   방식을 확인한다

   최고 레어 배출률, 픽업 배출률, 천장 횟수, 픽뚫 후 다음은 확정인지, 교환 횟수, 천장 카운트 이월. 확률 공시와 설명 페이지에서 확인합니다.

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   지금의 상태를 넣는다

   지금의 천장 카운트, 확정 상태인지, 교환 포인트가 몇 회분 쌓였는지. 이것으로 “앞으로 몇 번”이 달라집니다.

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   평균·90%·최악의 횟수를 구한다

   평균뿐 아니라 10명 중 9명이 모이는 횟수와, 천장이나 교환으로 정해지는 최악의 횟수를 구합니다.

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   1회 가격을 곱해 금액으로 바꾼다

   횟수 그대로는 실감이 잘 안 나므로 1회 가격(재화 환산액)을 곱해 금액으로 바꿉니다.

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   낼 수 있는 상한을 먼저 정하고 거기서 멈춘다

   “최악의 횟수까지 낼 수 있다”면 돌리고, “90% 선까지라면 낼 수 있다”면 나머지 10%의 꽝은 받아들이고, “평균까지밖에 못 낸다”면 절반 정도는 꽝이라는 전제로 돌린다고 미리 정해 둡니다.

천장이 있는 가챠는 최악의 횟수가 정해져 있는 만큼 예산을 세우기 쉬운 것이 장점입니다. 반대로 천장이 없는 가챠나 랜덤 굿즈의 시크릿은 99% 선이라도 평균의 4〜5배가 되는 경우가 있어, 상한을 정하지 않고 계속하면 예산을 크게 넘기기 쉽습니다.

가챠 확률 계산기 사용법

가챠 확률 계산기를 쓰면 지금까지의 계산을 난수 시뮬레이션이 아니라 엄밀한 확률로, 브라우저만으로 구할 수 있습니다. 입력한 숫자는 서버로 보내지 않고, 사용 중인 기기 안에서만 계산합니다.

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   “나올 확률” 탭에서 배출률과 횟수를 넣는다

   픽업 배출률(%), 뽑을 횟수, 몇 개 이상 원하는지를 넣으면 1개 이상(또는 N개 이상) 나올 확률, 하나도 안 나올 확률(X명 중 1명), 나오는 개수의 평균, 뽑을 수 있는 개수의 분포가 나옵니다. 1회 가격을 넣으면 절반의 사람·10명 중 9명·99%의 사람이 나오는 횟수를 금액으로도 표시합니다.

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   “천장·픽뚫·풀돌” 탭에서 가챠 방식을 넣는다

   “자주 쓰이는 방식에서 고르기”에서 프리셋을 고르거나, 최고 레어 배출률, 픽업 배출률, 천장(N연차째 최고 레어 확정), 교환(N회에 픽업과 교환), 픽뚫 후 다음은 확정인지를 넣습니다. 몇 개 모을지(풀돌까지)와 뽑을 수 있는 횟수를 넣으면 그 횟수로 모일 확률·평균·최악의 횟수가 나옵니다.

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   지금의 천장 카운트와 확정 상태를 넣는다

   지난번 최고 레어 이후 뽑은 횟수, 지금의 교환 포인트, 지금 확정 상태인지를 넣으면 이월된 상태에서 “앞으로 몇 번”으로 다시 계산합니다.

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   “랜덤 굿즈 전종 컴플리트” 탭에서 종류 수를 넣는다

   일반 종류 수, 시크릿 종류 수와 나올 확률, 살 개수를 넣으면 전종이 모일 확률·평균 개수·중복 개수·최애 1종이 나올 확률과, 산 개수별 내용물 기준을 표시합니다.

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   “확률 조견표” 탭에서 한꺼번에 비교한다

   배출률×횟수 조견표와 배출률별 나올 때까지의 횟수, 종류 수별 컴플리트 기준을 한눈에 볼 수 있습니다. 결과는 “결과 복사”로 글자로 만들 수 있고, “이 조건의 URL 복사”로 같은 조건을 친구와 공유할 수 있습니다.

주사위나 돌림판처럼 확률이 드러나 있는 도구의 사고방식은 주사위의 확률에서, 인원이 많을 때 정하는 방법과 추첨의 공정성은 가위바위보의 확률과 공정한 추첨 방법에서 해설합니다.

자주 묻는 질문

배출률 1% 가챠를 100연차 하면 나올 확률은 몇 %인가요?

약 63.4%입니다. 안 나올 확률 0.99를 100번 곱하면 약 0.366이 되고, 그것을 1에서 뺀 값입니다. 1,000명이 100연차 하면 약 366명은 하나도 안 나옵니다. 절반의 사람이 나오는 건 69연차, 10명 중 9명은 230연차, 99%의 사람은 459연차입니다.

가챠 확률은 어떻게 계산하나요?

n회에 1개 이상 나올 확률은 “1 − (1 − 배출률)^n”입니다. 배출률을 소수로 바꾸고(1%면 0.01), 1에서 뺀 값을 n제곱해 “n번 모두 안 나올 확률”을 구한 다음, 그것을 1에서 뺍니다. 2개 이상의 확률은 이항분포로 계산합니다. 천장이나 픽뚫이 있으면 1회마다의 상태(천장 카운트·확정 상태)를 따라가는 계산이 필요합니다.

0.6%에 90연차 천장인 가챠는 평균 몇 연차에 나오나요?

최고 레어가 나올 때까지의 평균은 약 69.7연차입니다. 다만 89연차째까지 나올 확률은 약 41.5%라서 절반 넘는 사람은 90연차째 천장에서 나옵니다. 픽뚫 50%(픽뚫 후 다음은 확정)로 픽업을 얻는다면 평균 약 104.5연차, 최악 180연차입니다.

픽뚫 50%에서 픽업이 나올 때까지의 기댓값은?

최고 레어가 나올 때까지의 평균 횟수의 1.5배입니다. 최고 레어 0.6%·90연차 천장이면 약 104.5회, 최고 레어 0.7%·80연차 천장이면 약 92.1회입니다. 최악의 횟수는 천장 2번분으로 각각 180회와 160회입니다. 지금 확정 상태라면 최고 레어가 나올 때까지의 평균과 같아집니다.

풀돌(7개)까지 몇 연차가 필요한가요?

최고 레어 0.6%·90연차 천장·픽뚫 50%(다음은 확정)라면 평균 약 732연차, 10명 중 9명이 모이는 건 902연차, 최악 1,260연차입니다. 1회 300엔이라면 평균 약 22만 엔입니다. 방식이 다르면 횟수도 달라지므로 천장·픽뚫·교환 조건을 넣어 계산하세요.

천장 카운트가 이월되어 있을 때 앞으로 몇 연차에 나오나요?

최고 레어 0.6%·90연차 천장·픽뚫 50%에서 지금의 카운트가 60연차·확정 아님이라면 평균 약 62.4연차·최악 120연차, 확정 상태라면 평균 약 27.5연차·최악 30연차입니다. 카운트와 확정 여부에 따라 크게 달라지므로 지금 상태를 넣어 계산하는 것이 확실합니다.

랜덤 캔뱃지 전 10종을 컴플리트하려면 몇 개 사야 하나요?

모든 종류가 같은 확률로 나온다면 평균 약 29.3개입니다. 절반의 사람은 27개, 10명 중 9명은 44개, 99%의 사람은 66개로 모입니다. 30개를 사면 모이는 종류는 평균 약 9.6종, 중복은 약 20.4개입니다. 시크릿이 있으면 필요한 개수는 더 늘어납니다.

계속 안 나오면 다음에는 잘 나오나요?

천장 카운트 외에는 잘 나오지 않습니다. 가챠의 1회 1회는 이전 결과와 관계없이 추첨되므로 50번 꽝 이후의 1회도 첫 1회와 같은 확률입니다. 다만 천장이 있는 가챠에서는 천장에 가까워질수록 “최악이라도 앞으로 몇 번”이 짧아집니다.

10연차와 단차는 확률이 다른가요?

최고 레어의 확률은 같습니다. 10연차는 단차를 10번 뽑는 것과 같은 계산이 됩니다. “10연차 시 ★4 이상 1개 확정” 같은 슬롯이 있으면 그 슬롯만큼 아래 레어의 나오는 방식이 달라지지만, 최고 레어의 확률이 오르는지는 게임의 확률 공시에서 확인하세요.