样本量的计算方法｜问卷需要多少人回答？置信水平 95%、误差 ±5% 为何是 385人，按总体规模的速查表、抽样误差、置信区间和 A/B 测试所需人数

结论：置信水平 95%、允许误差 ±5% 需要 385人，总体较小时可以更少

问卷所需的回答数（样本量）由两个选择决定：要有多大把握（置信水平），以及允许多少个百分点的偏差（允许误差）。按常用的置信水平 95%、允许误差 ±5%，当总体（想要了解的全部人群）足够大时需要 385人。有 385 份回答时，如果结果是 40% 选“是”，就可以说真实比例大约在 35%〜45% 之间。

下面先用公式确认 385人是怎么来的，再依次讲总体较小时的校正、由回答数反推误差和置信区间、回收率与分组人数，以及 A/B 测试的显著性和所需人数。文中的数字都与样本量计算工具的算法相同。

所需回答数的公式：n ＝ z² × p(1 − p) ÷ e² 得出 385人

基本公式是 n0 ＝ z² × p(1 − p) ÷ e²。z 由置信水平决定（95% 时为 1.96），p 是预计的回答比例（大约多少比例会选“是”），e 是允许误差（±5% 即 0.05）。随机收集回答时，结果比例的波动（标准误）是 √(p(1 − p) ÷ n)，公式就是反过来求出让它的 z 倍落在 e 以内的 n。

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   把 z 平方

   置信水平 95% 的 z 为 1.96，1.96² ≈ 3.8415。

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   乘以 p(1 − p)

   回答比例按 50% 计算，0.5 × 0.5 ＝ 0.25，3.8415 × 0.25 ≈ 0.9604。

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   除以 e²

   允许误差 ±5% 时 0.05² ＝ 0.0025，0.9604 ÷ 0.0025 ≈ 384.15。

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   向上取整

   人数是整数，向上取整为 385人。四舍五入会让误差稍微超出允许范围，所以一定要向上取整。

改变置信水平，z 就会变。置信水平是“同样的调查重复多次时，区间包含真实值的比例”，越高越可靠，但所需人数也越多。

允许误差是以 e² 的形式作除数，影响很大。把 ±5% 缩小一半到 ±2.5%，人数就要 4 倍；±1% 需要 9,604人，是 ±5% 的 25 倍。为了“尽量准确”把允许误差定得太小，预算很快就撑不住。

10% 和 90% 所需人数相同（“是”占 10%，“否”就占 90%）。一份问卷有很多题目，每题比例都不同，所以确定总人数时按 50% 计算最稳妥。

有限总体校正：总体较小时所需回答数会减少

385人是总体足够大（可视为无限）时的数字。像 1,000 名员工的公司、500 名会员的社团这样总体较小时，可以用有限总体校正 n ＝ n0 ÷ (1 ＋ (n0 − 1) ÷ N) 减少人数，N 是总体人数。

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   先算无限总体时的人数

   95%、±5%、比例 50% 时 n0 ≈ 384.15（使用取整前的值）。

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   计算 (n0 − 1) ÷ N

   总体 1,000人时，(384.15 − 1) ÷ 1,000 ≈ 0.3831。

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   除以 1 加上该值

   384.15 ÷ 1.3831 ≈ 277.7，向上取整为 278人。总体 10,000人时为 369.97，即 370人。

从表中可以看出，总体超过 10 万人后，±5% 所需人数一直在 383〜385人，几乎不变。全国性的民意调查和一个城市居民的调查，所需人数几乎一样。决定样本量的不是“占总体的比例”，而是“回答者的人数本身”。

反过来，总体较小时，比例就会变大。100 人的部门要做到 ±5%，需要 80人即八成的人回答。总体不到所需回答数的 20 倍时（±5% 大约是总体少于 7,700人时），填入已知的总体人数进行校正，人数会明显减少。

由回答数求抽样误差：400人为 ±4.9%

如果回答已经收齐，可以把公式倒过来，求“这个人数下误差是多少”。抽样误差为 e ＝ z × √(p(1 − p) ÷ n)，已知总体 N 时再乘以 √((N − n) ÷ (N − 1))。400人、95%、比例 50% 时，1.96 × √(0.25 ÷ 400) ＝ 1.96 × 0.025 ≈ ±4.9%。

表中是置信水平 95%、总体足够大时的值。100人的 ±9.8% 到 400人减半为 ±4.9%，要再减半到 ±2.5% 左右则需要 1,500人以上。误差与 √n 成反比，所以人数越多，“多一个人的效果”越小。报告中写“误差最大 ±○%”时，用误差最大的比例 50% 那一列的值。

总体较小时，同样的回答数误差会更小。总体 1,000人中有 400人回答时，乘以 √((1,000 − 400) ÷ 999) ≈ 0.775，误差为 ±3.8%。如果全员回答（n ＝ N），在所调查的范围内误差为 0。400人在其他置信水平下的误差，90% 时为 ±4.1%，99% 时为 ±6.4%。

置信区间的求法：沃尔德法与威尔逊法

给结果比例加上误差范围，就是置信区间。400人中有 120人（30%）回答“是”时，用沃尔德法（正态近似）计算为 30% ± 1.96 × √(0.3 × 0.7 ÷ 400) ≈ 30% ± 4.5%，95% 置信区间为 25.5%〜34.5%。这是教科书上常见的公式，回答数有几百人时完全够用。

不过，回答数少或比例接近 0% 或 100% 时，沃尔德法得出的区间会不合常理。这时可以用威尔逊得分法，它把中心稍微往 50% 一侧拉，并修正宽度。公式稍复杂，工具里两种方法并列显示。

有 400人时两者几乎相同；但 30人中 3人时，沃尔德法的下限变成负数被截为 0%，上限也偏小。30人中 0人时，沃尔德法给出“0〜0%”，好像完全没有误差。威尔逊法则给出合乎常理的宽度：“即使 0人，真实比例也可能高达 11% 左右”。人数少的调查，或不良率、投诉率这类接近 0% 的比例，请使用威尔逊法。

根据回收率反推发放数，以及分组所需人数

计算得出的是“需要收集的回答数”。问卷不会每个人都回答，所以实际发放、邀请的人数要用“所需回答数 ÷ 回收率”反推。

回收率随发放方式和与对象的关系差别很大。公司内部问卷如果号召大家填写，常常能收回一半以上；而发给客户的邮件问卷只有百分之几也不稀奇。有以往的回收率就用它，没有的话往低处估计比较稳妥。总体 1,000人、回收率 30% 时，最多只能发给 1,000人，回答约 300人，刚好够 ±5% 所需的 278人。

像按性别、年龄段那样想比较各组结果时，每个组都要收集到所需的回答数。5 个年龄段各自做到 ±5%，需要 385人 × 5 ＝ 1,925人，回收率 30% 时要发给 6,417人。如果总共只收集 385人，每个年龄段约 77人，误差约 ±11%。

两个比率之差的检验：A/B 测试的差异是不是偶然

比较 A/B 测试，或比较男女、年龄段之间回答“是”的比例时，使用两个比率之差的检验（z 检验）。用两组合并后的比例 p̄ 求出差的标准误 √(p̄(1 − p̄) × (1/n1 ＋ 1/n2))，再根据差是标准误的几倍（z）求出 p 值。p 值小于显著性水平（通常为 5%）时，判断为“难以认为是偶然的差异＝差异显著”。

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   分别求出比例

   A 为 1,000人中 100人点击，即 10%；B 为 1,000人中 130人，即 13%。差为 3 个百分点（B 是 A 的 1.3 倍）。

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   用合并比例求标准误

   p̄ ＝ (100 ＋ 130) ÷ 2,000 ＝ 11.5%。√(0.115 × 0.885 × (1/1,000 ＋ 1/1,000)) ≈ 0.01427。

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   求 z 和 p 值

   z ＝ 0.03 ÷ 0.01427 ≈ 2.10。双侧 p 值约 0.035，小于 5%，所以差异显著。

同样是 10% 和 13%，人数不同结论也会不同。是否显著不只取决于差的大小，也取决于用多少人来比较。同时看差的 95% 置信区间（沃尔德法，不合并的标准误），就能知道“差大概有多大”。

每组 300人时，置信区间跨过 0，无法排除“B 反而更低”的可能。每组 1,000人时区间整体为正，但下限是 ＋0.21 个百分点，也就是说“B 确实更高，但差距可能只有 0.2 个百分点左右”。另外，这个 z 检验的 p 值与 2×2 表的卡方检验（不做耶茨校正）的 p 值相同。

A/B 测试所需人数：统计功效 80%、10% → 13% 每组 1,774人

为了“确实有差异时不漏掉它”所需的人数，由当前比例 p1、期望比例 p2、显著性水平和统计功效决定。统计功效是“确实存在差异时，判定为差异显著的概率”，通常取 80% 或 90%。每组人数为 n ＝ (z_α/2 × √(2p̄(1 − p̄)) ＋ z_β × √(p1(1 − p1) ＋ p2(1 − p2)))² ÷ (p1 − p2)²。显著性水平 5%（双侧）时 z_α/2 ＝ 1.96，统计功效 80% 时 z_β ≈ 0.842，90% 时 ≈ 1.282。

表中是每组的人数，A 和 B 合计是它的 2 倍。10% → 13% 每组 1,774人，合计 3,548人。差从 3 个百分点变成 2 个百分点，人数就增加到 3,841人，超过 2 倍；1 个百分点则要 14,751人。人数与差的平方成反比，所以越是想确认“小幅改进”，就越需要大量访问。即使差同样是 5 个百分点，10% → 15% 需要 686人，50% → 55% 需要 1,565人，比例越接近 50% 所需人数越多。

• 如果每个版本每天有 200 次访问，收集到 1,774人大约需要 9 天。测试期间要事先定好，一般以整周为单位，避免星期几带来的偏差。
• 中途反复查看 p 值、一跌破 5% 就停止，即使实际上没有差异，也容易得出“差异显著”。原则是达到预定人数之前不做判断。
• 同时比较 B、C、D 等多个版本，其中某一个偶然显著的概率会上升。比较的组合多时，要采用更严格的显著性水平（如邦费罗尼校正），或减少版本数。

与计算不符时：偏差不会因为增加人数而消失

以上所有公式，都以“从总体中随机抽取的人来回答”为前提。抽样误差只代表随机波动造成的偏差。如果“谁来回答”本身有偏差，那么即使人数增加到几千人，这种偏差也不会变小。

• 即使是“1 万人回答的网络问卷”，如果是只有想回答的人才回答，也不一定比随机抽取 400人的调查更准确。
• 显著只说明“存在差异”，差异大不大是另一回事。收集几万人时，即使 0.1 个百分点的差也会显著。请看差的置信区间，判断它是否有实际意义。
• 各题回答人数不同（有可以不答的题）时，要按每题的人数分别求误差。
• 开放题的回答不适合计算比例，可以用词云等方式归纳高频词，并附上件数来报告。

用样本量计算工具计算的步骤

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   求所需回答数

   在“所需回答数”中选择置信水平（90%、95%、99%）和允许误差，填入总体规模（不清楚就留空）。预计回答比例不清楚时保持 50%。会并排显示校正前（总体无限时）和校正后的人数。

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   求发放数和分组人数

   填入回收率会显示需要发放、邀请的人数；填入要比较的分组数，会显示总共所需的回答数。

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   确认已收集回答的误差

   在“误差·置信区间”中填入回答数和结果比例，会显示最大抽样误差，以及该比例的置信区间（威尔逊法、沃尔德法）。填入总体规模会进行有限总体校正。

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   比较两个比率

   在“两个比率之差（A/B 测试）”中分别填入 A、B 的人数和“是”（点击、购买等）的人数，会显示差、倍数、p 值、是否显著以及差的置信区间。在下方填入当前比例和期望比例并选择统计功效，会显示每组所需人数。

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   用速查表估个大概

   在“速查表”中，可以一览按总体 × 允许误差的所需回答数，以及按回答数 × 比例的抽样误差。

所有计算都在浏览器中进行，输入的数值不会发送到任何地方。本文的数字也与工具的算法相同，可以直接输入文中的例子来验证。结果可以复制为文字或网址，直接贴到调查方案或报告中。

常见问题

问卷需要多少人回答？

置信水平 95%、允许误差 ±5% 时，总体足够大需要 385人。总体 10,000人时为 370人，1,000人时为 278人，500人时为 218人，100人时为 80人，总体越小所需人数越少。±3% 需要 1,068人，±10% 需要 97人。

385人这个数字是怎么来的？

把置信水平 95% 的 z ＝ 1.96、回答比例 p ＝ 0.5、允许误差 e ＝ 0.05 代入 n ＝ z² × p(1 − p) ÷ e² 得到的。1.96² × 0.25 ÷ 0.0025 ≈ 384.15，向上取整为 385人。

回答比例为什么取 50%？

因为 p(1 − p) 在 50% 时最大，所需人数也最多。按 50% 计算，无论结果是什么比例，误差都会落在允许误差以内。预计为 10% 时，±5% 可以减少到 139人，但估计不准时误差会变大。

回答数 400人时误差是多少？

置信水平 95% 下，最大（结果为 50% 时）为 ±4.9%。100人为 ±9.8%，1,000人为 ±3.1%。如果是总体 1,000人中有 400人回答，经有限总体校正可以缩小到 ±3.8%。

总体 100 万人和 1 万人，所需人数不一样吗？

几乎一样。95%、±5% 时，100 万人需要 384人，10 万人需要 383人，1 万人需要 370人。决定样本量的不是占总体的比例，而是回答者的人数本身；总体的影响只有在几千人以下时才明显。

A/B 测试中点击率 10% 和 13% 的差异显著吗？

如果 A、B 各展示给 1,000人，分别有 100人和 130人点击，p 值约为 0.035，在显著性水平 5% 下差异显著。差的 95% 置信区间为 ＋0.21〜＋5.79 个百分点。比例相同但每组只有 300人时，p 值约为 0.25，差异不显著。

A/B 测试需要多少人？

想把 10% 提高到 13% 时，显著性水平 5%、统计功效 80% 下每组需要 1,774人（合计 3,548人）。统计功效 90% 时为 2,375人；差为 2 个百分点（10% → 12%）时为 3,841人，1 个百分点时为 14,751人。差越小，人数增加得越快。

回答很少时，置信区间怎么求？

使用威尔逊得分法。30人中 3人（10%）时，95% 置信区间为 3.5%〜25.6%。常用的正态近似（沃尔德法）得出 0%〜20.7%，下限被截为 0；30人中 0人时更是得出没有宽度的 0%〜0%，而威尔逊法给出的是符合实际的 0%〜11.4%。